B. REGLA DE POTENCIAS Y SUMAS

INTRODUCCIÓN. 

La  definición  de  la  derivada.

   F’(x) =  limh—0  f(x  +  h) –  f(x)

                         H

 

Tiene  la  desventaja  evidente  de  ser  mas  bien  molestia   y  cansada  de  aplicar   para  encontrar  la  derivada  de  la  funcion  polinomial  f(x)= 6x100 +  4x35 usando  la  definicion  anterior  solo   es  necesario  hacer   malabares   con  137  términos   en  los  desarrollos  del  binomio  de  (x +  h)100  (x  +  h)35   hay  formas  más  eficaces   para  calcular  derivadas  de una  funcion  que  usar  la  definicion  de   cada vez    en  esta  sección   y  en  las  secciones  que  siguen   veremos  que   hay  algunos  atajos  o  reglas  generales  a  partir  de  las  cuales   es  posible  obtener  las  derivadas  de  funciones  como f(x) = 6x100 + 4x35 literal  mente   como  un  truco  de pluma.

 

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TEOREMAS DE LA POTENCIA Y SUMAS

Teorema 3.2.1  Regla  de  potencias
Para  cualquier  numero  real  n.

d/dx  xn  = nxn-1

DEMOSTRACIÓN:

EJEMPLO  REGLA   DE  LAS  POTENCIAS:

Diferencie.

a)      Y = x7

b)      Y = x

c)       Y=x-2/3

d)      Y=x raiz de 2

Solución   por  las  reglas  de  las  potencias.

a)      Con n = 7; dy/dx = 7x7-1= 7x6,

b)      Con n = 1; dy/dx = 1x1-1 = x0 =  1,

c)       Con n = 2/3: dy/dx= (-2/3)x(-2/3)-1 = -2/3x-5/3= -2/3x5/3’

 

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Teorema 3.2.2 Regla  de  la  funcion  constante
Si  f(x) = c  es  una  funcion constante, entonces  f’(x) =  0

 

DEMOSTRACION:

si f(x)= c, donde  c  es  cualquier  numero  real  entonces  que  concluye  que  la  diferencia  es f(x+h) – f(x) = c – c= 0 así , por (1),

 

f’(x)= limh—0 c-c /h = lim h—0 0= 0

 

en  el  teorema  3.2.2  tiene  una  interpretación  geométrica  evidente   en  donde  la  pendiente  de  la  recta  horizontal  y = c es ,  por  supuesto. Cero. Además el  teorema 3.2.2 coincide  con  el  caso (3)  en  el  caso  donde  x = 0 y n = 0.

 

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La  pendiente  de  una  recta Horizontal   es  0.

 

 

Teorema 3.2.3 Regla  de  la multiplicación  por  constante
Si  c  es  cualquier  constante  y f  es  diferenciable  en x, entonces cf es diferenciable  en x,y

d/dx cf(x) = cf’(x)

 

DEMOSTRACION:

Sea G(x) = cf(x)  Entonces

 

G’(x) = limh—0 G(x+h) – G(x)/h = limh—0 cf(x+h) – cf(x)

= limh—0 c[f(x + h) – f(x)/h] =  climh—0f(x+h)-f(x)/h = cf’(x)

 

Teorema  3.2.4  Regla de  suma  y  Diferencia
Si  f  y g  son  diferenciables  en  x, entonces  f +g y f –  g  son  diferenciables  en  x,  y

d/dx[f(x)+ g(x)] = f’(x) +  g’(x),

 

d/dx[f (x)  ] =  f’(x)  –  g’(x),

 

DEMOSTRACION  DE  (6) SEA  G(X) = F(X)  +  G(X) ENTONCES.

G’(x) = limh—0   G(x  +  h) – G(x)/h= limh—0[f(x  +  h)+ g(x  +  h)] – [f(x) + g(x)]/h

= limh—0  f(x  +  h) –  f(x) + g(x +  h) – g(x) /h

= limh—0  f(x  +  h) – f(x)/ h  +  limh—0 g(x+h)- g(x)   =  f’ (x) + g’(x.)